Loi Binomiale- Poisson
Cours gratuits > Forum > Forum maths || En basMessage de math52 posté le 18-05-2020 à 12:00:31 (S | E | F)
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Bonjour, voici un nouvel exercice
Je suis bloqué à la première question pour trouver n et p.
J'ai d'abord démontré que c'était une loi de bernoulli de paramètre p, puis une loi binomiale tel que X = Y1+ .. + Y5.
Étant donné que c'est un événement rare, j'aimerai trouver une loi de poisson afin de faire une approximation de la loi binomiale. Celle-ci doit remplir les conditions :
n >= 30; p=<0,1; et np<=10
Ici on a la moyenne pour une heure, j'aimerai trouver la moyenne pour 5 minutes, donc je fais un produit en croix par exemple je trouves 8 ce qui est effectivement inférieur à 10 maintenant j'aimerai savoir combien vaut n, est ce possible ?
Merci d'avance. Voici l'énoncé
Chaque année, entre le 9 et le 13 aout, la Terre traverse les Perséides. Il s’agit d’un essaim de météores constitué de très nombreux débris de la comète Swift-Tuttle. Chacun de ces météores peut, en entrant dans l’atmosphère, donner lieu à un phènomène lumineux bien connu : une étoile filante. Il est connu que durant cette période, on peut observer en moyenne 100 étoiles filantes par heure.
On note Y le nombre d’étoiles filantes que l’on pourra observer le 10 aout 2020 entre 1h et 1h05 du matin.
1. Quelles est la loi de Y ?
2. Quelle est la probabilité d’observer au moins 10 étoiles filantes durant ces cinq minutes ?
3. Quelle est la probabilité d’observer entre 5 et 10 étoiles filantes durant ces cinq minutes ?
Réponse : Loi Binomiale- Poisson de tiruxa, postée le 18-05-2020 à 19:54:11 (S | E)
Bonjour
Je ne pense pas que vous ayez besoin de préciser n, mais pour la loi de Poisson n doit être grand et p petit.
Toutefois on pourrait étudier chaque seconde de la période de 5 minutes, il y en a 300 donc n=300, et la proba d'apparition d'une étoie au cours de cette seconde est 100/3600 = 1/36 (car 3600s dans une heure) donc p=1/36
On a np= 300/36=8.33 qui est inférieur à 10 donc les conditions sont remplies.
Ensuite soit on utilise la calculette soit une table..
Réponse : Loi Binomiale- Poisson de math52, postée le 19-05-2020 à 10:46:32 (S | E)
Super raisonnement merci beaucoup !
Pour la 2 :
P[X>=10] = 1 - P[X=<10]
= 1 - (Px=0 + Px=1 + ... + Px=10)
= 1 - (e-8,33*8,33^0/0! +.... + e-8,33*8,33^10/10!)
C'est bien cela ? Le calcul est très long..
J'ai réalisé le calcul avec Excel cela me donne 1- 0,78 soit environ 22% c'est juste ?
Et pour la 3 : P[5<=x<=10] = P[X=5] + .... + P[X=10]
Avec Excel je trouve 0,6996 qu'en dites-vous ?
Réponse : Loi Binomiale- Poisson de tiruxa, postée le 19-05-2020 à 14:40:18 (S | E)
Excel me semble un bon outil pour ce genre de calcul répétitif
Je n'ai pas vérifié les valeurs mais la méthode est juste à une exception près toutefois c'est que le contraire de "au moins 10" est "strictement inférieur à 10" ou si vous préférez "au plus 9"
Donc dans la 2) c'est 1-[p(X=0)]+...+p(X=9)]
Réponse : Loi Binomiale- Poisson de math52, postée le 20-05-2020 à 07:53:07 (S | E)
D'accord merci bonne journée à vous !
Réponse : Loi Binomiale- Poisson de chezmoi, postée le 06-06-2020 à 19:01:48 (S | E)
Bonjour,
Excel offre (mon ordi est anglais): POISSON.DIST
De ma part.
C
Réponse : Loi Binomiale- Poisson de chezmoi, postée le 08-06-2020 à 10:38:02 (S | E)
Bonjour,
La loi Poisson
P( X= 0) = exp(-u)
P(X=x) = exp(-u) u ^ x /x! , x=0,1,2,3,4….
Donc P(x=1) = (u)P(X=0)/1
En général, P(X= n+1) = u(P(X=n)/(n+1) n=0,1,2…
Qui est équation de récurrence. Cela existe pour d'autres lois de prob.
Donc c’est plus facile que vous croyiez
Poisson(0.1)
X P(X=x) plus exacte
0 0.904837 0.904837418
1 0.090484 0.090483742
2 0.004524 0.004524187
3 0.000151 0.000150806
4 0.000004 3.77016E-06
5 0.000000 7.54031E-08
6 0.000000 1.25672E-09
7 0.000000 1.79531E-11
8 0.000000 2.24414E-13
9 0.000000 2.49349E-15
En somme, la récurrence fonctionne quand Excel ne le fait plus. Et pour 3 chiffres significants s’arrêter au 3e dans les mémoires calculatrices.
Bonne chance.
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