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Nombre irrationnel

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Nombre irrationnel
Message de chmaykel posté le 30-09-2018 à 03:52:09 (S | E | F)
Bonjour,

Je travaille sur une série de TD et je n’arrive pas à trouver la réponse à la question suivante :

Prouver par contradiction que la somme d'un nombre rationnel et d'un nombre irrationnel est irrationnel ??
Toute aide, indice, explication est grandement apprécie

Merci d’avance

-------------------
Modifié par chmaykel le 30-09-2018 04:36




Réponse : Nombre irrationnel de puente17, postée le 30-09-2018 à 13:38:59 (S | E)
Bonjour,

Q est un corps et donc en particulier un groupe pour l'addition. Ceci devrait vous permettre de conclure.



Réponse : Nombre irrationnel de puente17, postée le 01-10-2018 à 14:24:46 (S | E)
Re-bonjour,

disons que la différence de deux rationnels est un rationnel et donc ici il y aurait une contradiction.
Faites un raisonnement par l'absurde:
Si q +i = q' alors on aurait q - q' = i (avec q et q' rationnels et i irrationnel).



Réponse : Nombre irrationnel de wab51, postée le 02-10-2018 à 15:19:38 (S | E)

Bonjour
Etant donnée que la question est précisément bien accompagnée d'une indication de raisonnement à suivre "prouver par contradiction ",il me semble bien de rappeler ce principe de raisonnement logique en maths dit "principe du raisonnement par l'absurde ":Pour démontrer qu'une proposition P est vraie ,on suppose que la proposition (non P)est vraie et on montre alors que cette hypothèse conduit à une contradiction ,d'une part
et d'autre part de savoir qu'est ce un nombre rationnel? ou irrationnel? :Tout nombre qui peut s'écrire sous la forme d'une fraction a/b (d'un quotient) où a et b sont deux entiers relatifs avec b≠0 est un nombre rationnel.
Explications :
Donc pour montrer (prouver) que la proposition P:" la somme d'un nombre rationnel et d'un nombre irrationnel est un un nombre irrationnel"?
1)Appliquer le principe par l'absurde :pour cela ,on suppose que la proposition (non P)est vraie c'est à dire que "la somme d'un rationnel a/b et d'un irrationnel x est rationnel m/n ,ce qui s'écrit (a/b)+x =m/n (voire que ce n'est qu'une équation du 1er degré en x d'où x=? .Que peut-on conclure sur le nombre x,est-il rationnel? ou irrationnel?ce résultat n'est-il pas en contradiction avec l'hypothèse que x était à priori supposé comme étant un nombre irrationnel) .Merci à tous



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Modifié par wab51 le 02-10-2018 22:38






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