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Message de bourich62 posté le 21-11-2018 à 23:11:04 (S | E | F)
Bonjour, je prépare un concours, j'ai besoin d'une correction et d'aide pour terminer et comprendre cet exercice svp. Pour les questions auxquelles je n'ai pas répondu, si vous voulez me donner une piste plutôt que la réponse je me ferai une joie d'essayer. Merci d'avance

En 2010, monsieur DELABILE a réalisé sa première déclaration d'impôt sur le revenu.
Il a déclaré son revenu annuel : 18000€
Son impôt à payer s'est élevé à 1600€
Une fois ses impôts réglés, son revenu net s'élevait à 16400€.
De 2011 à 2014, son revenu annuel a augmenté chaque année de 2%, et son impôt à payer a augmenté de 3%.
Suite à la mise en place du prélèvement à la source, Mosnsieur DELABILE souhaiterait avoir une idée de ce qu'il adviendrait de son revenu annuel net si l'évolution constatée de 2011 à 2014 se poursuivait.

Pour tout entier n>ou=0, on appelera :
Rn, le montant en euros du revenu annuel de Mr D en l'an (2010+n), ainsi R0=18000
In, le montant en euros de l'impôt correspondant payé par Mr D, ainsi I0=1600
Un, le montant du revenu net de Mr D une fois ses impôts payés, ainsi U0=16400.

Questions :
1.
A) Exprimer Un en fonction de Rn et In.

Un=Rn-In

B) Calculer R1, I1, U1, R2, I2, U2

R1=18000*(1+2/100)=18360
I1=1600*(1+3/100)=1648
U1=18360-1648=16712

R2=18360*(1+2/100)=18727.2
I2=1648*(1+3/100)=1697.44
U2=18727.2-1697.44=17029.74

C) Démontrer que pour tout entier n>ou=0, on a :
Rn=18000*(1.02)^n
In=1600*(1.03)^n
Préciser la nature de chaque suite, sa raison et son premier terme.

Rn est une suite géométrique de raison q=1.02 et de premier terme R0=18000
In est une suite géométrique de raison q=1.03 et de premier terme I0=1600

2. Montrer que pour tout entier n>ou=0, on a : U(n+1)-Un=360*(1.02)^n-48*(1.03)^n

Un=Rn-In Donc on calcule R1-R0=18360-18000=360
I1-I0=1648-1600=48
Comme Un est une suite géométrique, elle prend la forme U0*q^n soit :
Un=Rn-In=(18000*1.02^n)-(1600*1.03)^n
Donc U(n+1)-Un=(18360*1.02^n)-(1648*1.03^n)-(18000*1.2^n)-(1600*1.03^n)=360*(1.02)^n-4*(1.03)^n

3. Montrer que U(n+1)<Un <-> n*ln(1.03/1.02)>ln(15/2)

Pas trouvé ici

4. Déterminer les entiers n>=0 qui vérifient n*ln(1.03/1.02)>ln(15/2)

Pas trouvé ici

5. Si l'évolution constatée ces dernières années se poursuit, Mr D verra-t-il son revenu net (après impôt prélevés) diminuer ?

Pas trouvé ici


Réponse : Suites de wab51, postée le 22-11-2018 à 15:46:35 (S | E)
Bonjour
Tout d'abord ,je vous souhaite une excellente réussite dans votre concours .
3. Montrer que U(n+1)<Un <-> n*ln(1.03/1.02)>ln(15/2):
Je vous donne une piste et à vous de continuer et de faire les calculs .
Sachant que Un=Rn-In et que Un+1=Rn+1 - In+1 ,alors
Un+1<Un <-> Rn+1 - In+1 < Rn - In <-> Rn+1 - Rn < In+1 - In <-> ... je vous laisse continuer les calculs en remplaçant Rn+1,Rn,In+1 et In par leurs valeurs numériques respectives .Puis faites intervenir dans cette inégalité de part et autre le ln par suite que la fonction logarithme est une fonction bijective et ne reste qu'à déduire le résultat .

4. Déterminer les entiers n>=0 qui vérifient n*ln(1.03/1.02)>ln(15/2)?
Compte tenue du résultat de la Q-3 , on a l'équivalence Un+1<Un <-> n*ln(1.03/1.02)>ln(15/2) (c'est une inéquation du 1er degré à une inconnue "n" dont il est facile à résoudre .Envoyez vos résultats détaillés .Bon courage



Réponse : Suites de bourich62, postée le 24-11-2018 à 17:30:11 (S | E)
donc voici la question 3 :

U(n+1)<Un <-> R(n+1)-I(n+1)<Rn-In <-> R(n+1)-Rn< I(n+1)-In

U(n+1)<Un <-> 18000*(1.02)^(n+1) - 1600*(1.03)^(n+1) < 18000*(1.02)^n-1600*(1.03)^n <-> 18000*(1.02)^(n+1) - 18000*(1.02)^n < 1600*(1.03)^(n+1) - 1600*(1.03)^n

Je remplace comme vous me l'avez demandé mais je n'arrive pas à aller plus loin...
je ne comprends pas le principe de venir ajouter le ln pour trouver la solution



Réponse : Suites de wab51, postée le 24-11-2018 à 18:37:00 (S | E)
*Faites apparaître respectivement dans chacun des deux membres de l'inégalité (de droite et de gauche) le plus grand facteur commun,pour mettre chacune des deux différences sous forme de produit de deux facteurs ?effectuer les opérations possibles pour simplifier et réduire pour arriver sous la forme (a/b)<(c/d)^n .Et enfin ,et comme je vous l'avais déjà dit ,appliquer le principe de la bijection de log .



Réponse : Suites de bourich62, postée le 24-11-2018 à 20:30:48 (S | E)
Même avec votre explication je ne comprends pas...

j'ai fait ça :
18000*1.02^(n+1)-1600*1.03^(n+1)<18000*1.02^n-1600*1.03^n
= 18000*1.0506^(n+1)-1600*1.0506^(n+1)<18000*1.0506^(n)-1600*1.0506^n
= 16400*1.0506^(n+1)<16400*1.0506^n

mais je ne pense pas que ce soit ça...



Réponse : Suites de wab51, postée le 24-11-2018 à 22:16:43 (S | E)
Non,non et pas du tout!c'est faux et dérisoire!Le calcul a ses règles et ses lois!Ne faites pas du n'importe quoi!
*l'objectif est d'arriver à simplifier et à réduire cette relation ,n'est ce pas?Comme je vous l'avais déjà dit et signalé , il faut déjà la voir comme une inéquation avec n comme inconnue et tous les autres nombres sont des nombres réels et par conséquent ,on doit réfléchir à trouver les moyens de calcul qui réduisent au fur et à mesure dèjà sa forme d'écriture .Ainsi et en appliquant la règle "diviser les membres d'une inéquation par le meme nombre non nul,on retombe sur une inéquation équivalente sans changement de sens (<)"^n
<-> 18000*(1.02)^(n+1) - 18000*(1.02)^n < 1600*(1.03)^(n+1) - 1600*(1.03)^n .(le plus grand diviseur réel est 400-on divise par 400)
<-> 45*(1.02)^(n+1) - 45*(1.02 )< 4*(1.03)^(n+1) - 4*(1.03)^n
<-> 45*(1.02)^n *(1.02)- 45*(1.02)^n < 4*(1.03)^n*(1.03- 4*(1.03)^n (Ne voit-on pas que le facteur commun est apparu et visible,donc on le met en facteur:
<-> 45*(1.02)^n(1.02-1) < 4*(1.03)^n(1.03-1) (en produit de deux facteurs)
<-> 0.02*45*(1.02)^n < 0.03*4*(1.03)^n
<-> 0.90*(1.02)^n < 0.12*(1.03)^n (puis on multiplie le tout par 100,)
<-> 90*(1.02)^n < 12*(1.03)^n (on divise par le PGCD(90;10)=6 ,on obtient)
<-> 15*(1.02)^n < 2*(1.03)^n (on divise par 2)
<-> 15/2 *(1.02)^n<((1.03)^n (on divise par 1.02)
<-> 15/2 < (1.03)^n/(1.02)^n
<-> 15/2 <[(1.03)/(1.02)]^n(comme le log est bijective c'est si a<b alors loga<logb ) <-> log(15/2) <log[(1.03)/(1.02)]^n
<-> log(15/2) < n*log(1.03/1.02) .




Réponse : Suites de wab51, postée le 25-11-2018 à 10:59:30 (S | E)
Sinon et mieux encore ,voici une autre méthode de calcul plus efficace , plus simple et plus courte :
3. Montrer que U(n+1)<Un <-> n*ln(1.03/1.02)>ln(15/2)?
Montrer que U(n+1)<Un <-> n*ln(1.03/1.02)>ln(15/2) revient à démontrer que U(n+1)-Un<0 <-> n*ln(1.03/1.02)>ln(15/2)?
D'après la Q-2 on a pour tout n entier naturel non nul: U(n+1)-Un=360*(1.02)^n-48*(1.03)^n ,donc on remplace et on a
U(n+1)-Un<0 <-> 360*(1.02)^n-48*(1.03)^n <0
U(n+1)-Un<0 <-> 360*(1.02)^n-48*(1.03)^n <0 (diviser par le PGCD(360;48)=24)
U(n+1)-Un<0 <-> 15*(1.02)^n-2*(1.03)^n <0
U(n+1)-Un<0 <-> 15*(1.02)^n<2*(1.03)^n
U(n+1)-Un<0 <-> (15/2)<(1.03/1.02)^n (rappel de la règle :a*b<c*d <-> (a/c)<(d/b) avec ,a,b,c et d réels strictement positifs)
U(n+1)-Un<0 <-> log(15/2)<log(1.03/102)^n (application de la propriété bijective du logarithme log)
U(n+1)-Un<0 <-> log(15/2)<n*log(1.03/1.02)
U(n+1)-Un<0 <-> U(n+1)<Un <-> log(15/2)<n*log(1.03/1.02)

*Pour la 4ème et dernière question ,la réponse est immédiate (utiliser la calculatrice).Bon courage



Réponse : Suites de bourich62, postée le 25-11-2018 à 11:27:12 (S | E)
Bonjour,

J'ai réussi à faire le travail avec la deuxième proposition, et je me rend compte qu'au final ce n'était rien de compliqué...

Donc pour les 2 autres questions, je trouve à l'aide de la calculatrice que l'inéquation devient vraie à partir de n=207

Donc Monsieur D ne verra pas son revenu net diminuer, il sera mort bien avant et en retraite ^^




Réponse : Suites de wab51, postée le 25-11-2018 à 12:03:37 (S | E)
l'inéquation devient vraie à partir de n=207 (à partir de n>207).
et bonne journée




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