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Arithmétique

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Arithmétique
Message de nounous posté le 10-03-2019 à 14:07:40 (S | E | F)
Re-bonjour.

Exercice

Un nombre s'écrit 23 en base 10 et 27 en base b.
1-Déterminer b

Un nombre & s'écrit en base x sous la forme &=2101(barre en haut suivie de x)
a)Donner son écriture décimale
b)On pose p(x)=2x³+x²+1
Montrer que 3 est une racine de
P(x)-64
c) Déterminer la base x sachant que &=64

Merci de patienter


Réponse : Arithmétique de nounous, postée le 10-03-2019 à 15:45:21 (S | E)
1) Déterminons b

Soit x ce nombre. On a
x=23(base10)
=>x=2X10+3X10°
=>x=23

Ainsi en base b on a
23=27(baseb)
=>23=2Xb+7Xb°
=>23=2b+7
=>2b=23-7
=>b=16/2
=>b=8

2)-a
Écriture décimale
&=2(x)³+1(x)²+0(x)+1(x)°
&=2x³+x²+1

b)Montrons que 3 est une racine de p(x)-64

Il suffit de montrer que p(3)-64=0
P(3)-64=0 ==> 2(3)³+(3)²+1-64=0
. ==> 54+9+1-64=0
. ==>64-64=0
Comme p(3)-64=0 alors 3 est une racine de p(x)-64

c) Détermination de la base x sachant que &=64

On a: 64=2x³+x²+1. De ce qui précède 3 est une racine de p(x)-64.
Donc x=3

Merci de vérifier

-------------------
Modifié par nounous le 10-03-2019 15:45



-------------------
Modifié par nounous le 10-03-2019 15:56





Réponse : Arithmétique de wab51, postée le 10-03-2019 à 16:25:57 (S | E)
Bonjour
Très bien.



Réponse : Arithmétique de puente17, postée le 10-03-2019 à 16:37:45 (S | E)
Bonjour,

Avez vous vérifié que c'est la seule solution possible?
En effet vous avez une équation du 3ième degré dont 3 est solution et il pourrait y en avoir d'autres??? Il faudrait donc peut-être justifier que 3 est la seule solution possible.

je vois au moins 2 possibilités:
soit par une étude rapide de la dérivée de p(x), soit en cherchant l'ensemble des racines de p(x)-64 = 0.




Réponse : Arithmétique de nounous, postée le 11-03-2019 à 15:21:05 (S | E)
Bonsoir. Merci
Je comprends maintenant ce dont vous parliez.

On a: 2x³+x²+1=64
=>2x³+x²-63=0

Comme 3 est une racine de p(x)-64 alors il existe a,b et c des entiers tels que F(x)=(x-3)(ax²+bx+c).
Trouvons a,b et c

On a: a=2 b=7 c=21

Ainsi: F(x)=(x-3)(2x²+7x+21)

*Factorisons F(x)

Il suffit de factoriser (2x²+7x+21)

Forme canonique:
2x²+7x+21=2(x²+7/2x+21/2)
=2[(x+7/4)²-(7/4)²+21/2]
=2[(x+7/4)²-49/16+21/2]
=2[(x+7/4)²+119/16]

Or 119/16>0, ainsi F(x) n'est pas factorisable.
Donc 3 est la seule racine.

Merci de vérifier

-------------------
Modifié par nounous le 11-03-2019 15:22





Réponse : Arithmétique de puente17, postée le 11-03-2019 à 16:27:09 (S | E)
Bonjour,

oui c'est ça, et d'autre part s'il y avait eu d'autre racines à l'équation il aurait fallu en plus qu'elles soient entières et strictement positives.
En passant par la dérivée c'est aussi intéressant car on peut vérifier que sur un intervalle bien précisé elle est strictement positive donc la fonction est strictement croissante et par conséquent il y a forcément unicité (quand une solution existe).



Réponse : Arithmétique de nounous, postée le 11-03-2019 à 17:10:29 (S | E)
Merci à vous : Wab51 et Puente17





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