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Calcul racines de tête

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Calcul racines de tête
Message de airv posté le 16-07-2019 à 17:07:46 (S | E | F)
Hello, je dois passer prochainement (j’espère) un test d'embauche, or à ce test il y a divers questions de maths a réaliser de tête en un minimum de temps. J'ai trouvé cet exercice sur le site (Lien internet
.
En appliquant la méthode j'obtiens à la question 1 et 2 des explications différentes. (pour le reste de l'exercice aussi). D’après ce que je comprends à l'explication: a l’exercice 1 le résultat devrait être 86, plus proche de 6400 donc 80x80, sachant qu'il me donne l'explication inverse a l'exercice 2...


1. Quelle est la racine carrée de 5776 ? 86 76
4x4=16 6x6=36 et on a 5776 situé entre 70x70 et 80x80 soit 4900 et 6400. 5776 est plus proche de 6400 que de 4900, donc la réponse 76


2. Quelle est la racine carrée de 1089 ? 33
3x3=9 7x7=49 1086 est situé entre 30x30 et 40x40 soit 900 et 1600. 1089 est plutôt proche de 900 que de 1600 donc la réponse est 33


Réponse : Calcul racines de tête de lemagemasque, postée le 16-07-2019 à 20:16:32 (S | E)
Bonjour,

Vous avez mal compris l'histoire de "4x4=16 6x6=36 et [...] 5776 est plus proche de 6400 que de 4900", qui concerne uniquement le chiffre de l'unité.

Voici donc une autre explication pour les 2 exemples que vous avez donnés, sous l'hypothèse que chaque nombre étudié est un carré parfait :

1) 5776
Je découpe mon nombre de 0 à 4 chiffres en blocs de 2 chiffres en commençant par la droite (donc pour 121, ce sera 1|21) :
57|76
Je connais les carrés des nombres de 0 à 9 : 0 - 1 - 4 - 9 - 16 - 25 - 36 - 49 - 64 - 81.
57 est compris entre 49 inclus et 64 exclus (ainsi, pour 64, je prends entre 64 inclus et 81 exclus), donc le chiffre des dizaines sera 7 (7^2 ("7 au carré") = 49).
Maintenant, pour le chiffre des unités, j'ai 2 carrés qui se terminent par 6 : 4^2=16 et 6^2=36.
5776 est-il plus proche de 4900 (|5776-4900| ≈ |5800-4900| (on est avec des gros nombres, donc faisons simple) = 900) ou de 6400 (|5 776-6400| ≈ |5800 - 6400| = 600) ? On remarque ici que 5776 est plus proche de 6400, donc le chiffre des unités serait plutôt 6.
Le résultat semble être donc 76 (vérification express grâce à l'identité remarquable (a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2*a*b, où a et b sont des réels et ^2 signifie au carré) : 76^2 = 49|36 + 2*10*7*6 = 4936 + 840 = 5776)

2) 1089
10|89
3^2 = 9 < = 10 < 16 = 4^2 donc mon chiffre des dizaines est 3.
*9 ? 3*3 = 9 et 7*7 = 49. 1089 ≈ 1090 est plus proche de 900 que de 1600, donc mon chiffre des unités est 3.

D'ailleurs, ce même cours présente des cas particuliers :
- carrés parfaits (i.e. la racine carrée positive est un entier), cela simplifie considérablement l'exercice (sinon, il faut passer par d'autres méthodes plus compliquées à faire de tête (mais assez faciles sur un papier), comme la méthode d'"extraction de racines carrées" (c'est le terme scientifique) par la méthode de la potence (présentation sous forme de division) : Lien internet

- les nombres à trouver ont de 0 à 2 chiffres (et ont donc des carrés particuliers, ce qui explique la méthode de découper chaque nombre proposé en blocs de 2 chiffres, en commençant par la droite, et à encadrer le premier bloc entre 2 carrés parfaits consécutifs).

Bon courage pour votre entretien ! Si ce n'est pas indiscret, pour quel type d'entreprise postulez-vous ?



Réponse : Calcul racines de tête de pancarte, postée le 18-07-2019 à 19:06:15 (S | E)
Bonjour,

De tête, je procède autrement.

Je ne sais pas calculer 70x70 ou 80x80 alors je calcule 7x7 ou 8x8 et j'ajoute 2 zéros.

Jusque là, probablement aucune différence et on conserve un sentiment de facilité.

J'ai la même facilité pour réduire l'intervalle avec le 75x75, mais au lieu d'ajouter 2 zéros je vais mettre 25.

75x75 se calcule de tête immédiatement 7x8 (entre le 70 et le 80) suivi de 25.

75x75 = 56 25
45x45 = 20 25
15x15 = 2 25
95x95 = 90 25
55x55 = 30 25

De cette façon, j'ai une fourchette plus courte pour continuer le calcul.



Réponse : Calcul racines de tête de lemagemasque, postée le 19-07-2019 à 18:24:41 (S | E)
Bonjour pancarte,

Vous prenez le problème à l'envers...
Dans l'exercice indiqué par airv, il faut trouver la racine carrée (positive) des carrés parfaits proposés, et non pas calculer des carrés.
Enfin, on pourrait procéder ainsi (par dichotomie), mais cela prendrait plus de temps : j'ai 144.
0² < = 144 < 50² = 2500 ? OUI
0² < = 144 < 25² = 04|25 + 2*10*2*5 = 625 ? OUI
0² < = 144 < 13² = 01|09 + 2*10*1*3 = 169 ? OUI
0² < = 144 < 7² = 49 ? NON
...
En résumé, on fait plein de calculs, et on peut vite s'y perdre, même en faisant des encadrements plus fins au départ.

De plus, j'ai déjà proposé la méthode que vous avez indiquée dans "Vérification express" :
1) Prendre un nombre de 0 à 2 chiffres (ex. : 43).
2) Écrire le carré de chaque chiffre côte à côte, sur 2 chiffres à chaque fois (ex. : 16|09).
3) Multiplier les chiffres du nombre de départ entre eux, et ensuite par 2*10 = 20 (ex. : 4*3 = 12 ; 12*2*10 = 240)
4) Additionner les deux nombres trouvés aux étapes 2) et 3) (ex. : 1609 + 240 = 1849 = 43²).

Cela vient de l'identité remarquable décrite précédemment : pour tous réels a, b (a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2 * a * b
Avec les mêmes notations, 43 = 4*10 + 3*1 => a = 4*10 et b = 3(*1)

Bonne journée !



Réponse : Calcul racines de tête de pancarte, postée le 19-07-2019 à 23:12:36 (S | E)
Bonjour,

A l'envers ? ... Bon, revenons à nos moutons alors !

Calcul racines de tête (titre du message d'origine)

Question 1. Quelle est la racine carrée de 5776 ?

Je procède ainsi :

7x7 = 49 et 8x8 = 64
Le "57" est entre 49 et 64. La racine carrée est comprise entre 70 et 80.
75x75 = 5625 (immédiat voir précédent post)
5776 est supérieur à 5625.
La racine carrée est comprise entre 75 et 80.
Je suis allé très vite et je n'ai pas consommé d'énergie mentale à ce stade.

(Je détecte immédiatement le 151 qui sépare 5625 de 5776. Je sais que la racine est 76 car 75+76 = 151 ... mais je ne le propose pas en méthode.)

5776 se termine par 6 donc la racine carrée recherchée entre 75 et 80 aussi. Gagné, j'ai mon 76 à vitesse grand V.

Le dernier chiffre aurait été 9, ma réponse 77.
Le dernier chiffre aurait été 4, ma réponse 78.
Le dernier chiffre aurait été 1, ma réponse 79.

J'ai l'impression d'avoir répondu à la question : quelle est la racine carrée de 5776 ?

L'existence d'autres méthodes est une richesse et permet ensuite de faire des choix.

L'exercice réel du calcul mental servira de test pratique.

Vous voulez progresser en calcul mental ? Allons faire des essais de vitesse sur des calculs "relativement" simples ou des calculs nettement plus corsés sur la toile.

En juin, en vitesse, j'ai réalisé 80,4 secondes pour 100 calculs avec 2 nombres entre 0 et 16 sur 4 opérations. A la vitesse de 8 dixièmes de seconde par opération, ça décoiffe !
Cette année sur mathtrainer, j'ai placé plusieurs fois le drapeau de mon pays sur la plus haute marche avec le LEVEL 100.

Il existe aussi dans le monde des grands calculateurs qui sont capables de multiplier de tête 2 nombres de 100 chiffres.

J'ai un jour "seulement" multiplié de tête en 1 heure 40 minutes un nombre de 23 chiffres par lui-même avec le résultat juste de 46 chiffres (calcul vérifié en "tronçonnant" le nombre de départ pour le faire entrer dans la calculatrice ...)

Par rapport à ces grands calculateurs, je suis une chèvre, on est bien d'accord ! mais j'espère avoir assez d'expérience pour apporter quelques bonnes infos sur le sujet.







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