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Lieu géométrique

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Lieu géométrique
Message de libniz posté le 16-07-2019 à 23:45:31 (S | E | F)
Bonsoir
S'il vous plait j'ai besoin d'aide.
Je veux déterminer l'ensemble des points M(x;y) du plan tels que x²-y²+x=0.
Merci d'avance pour votre aide


Réponse : Lieu géométrique de lemagemasque, postée le 17-07-2019 à 03:40:02 (S | E)
Bonjour,

Il semble que l'on ait à faire à l´équation d'un cercle. En effet, on n'a pas du x * y * quelque chose mais du x^2, du y^2, du x fois quelque chose... qui font penser à l´identité remarquable (a + b)^2 = a^2 + 2 * a * b + b^2 où a et b sont des réels.
On vérifie notre hypothèse en mettant l'expression précédente sous forme canonique ( a * (x - α)^2 + β où α, β sont des réels à déterminer et où le a est le "a"
de la forme générale a * x^2 + b * x + c d'un trinôme du second degré), en se servant notamment de l´identité remarquable précédente.

Je fais sur un autre exemple pour voir si vous arrivez à appliquer la démarche suivante.

On se donne l'équation suivante (E2) : x^2 + y^2 + 2 * x - 5 * y + 3 = 0 et on souhaite connaître l'ensemble (S) des points M(x,y) du plan usuel qui vérifient (E2).

On s'occupe d'abord de transformer l'ensemble des monômes qui contiennent du x.

La suite demain...


-------------------
Modifié par lemagemasque le 17-07-2019 17:07
Voir réponse de tiruxa.




Réponse : Lieu géométrique de tiruxa, postée le 17-07-2019 à 10:31:14 (S | E)
Bonjour,

Désolé de vous contredire en partie lemagemasque, mais une équation de cercle est de la forme x²+y²+ax+by+c=0.

Or ici ce n'est pas le cas (à cause de signe - devant y²)

Ici, on peut isoler facilement y²

On a y²=x²+x

ou y²=x(x+1), on peut étudier rapidement le signe de x(x+1), c'est positif sur ]-inf;-1] U [0;+inf[

Donc sur cet ensemble de définition y = racine carrée de (x²+x) ou y = - racine carrée de (x²+x) que l'on peut tracer.

On peut par ailleurs démonrer qu'il s'agit d'une hyperbole.

Si cela vous intéresse je peux vous l'expliquer.



Réponse : Lieu géométrique de lemagemasque, postée le 17-07-2019 à 17:06:52 (S | E)
Bonjour tiruxa,

Ne soyez pas désolé. Effectivement, j'ai mal lu la consigne.


Bonne journée !



Réponse : Lieu géométrique de pancarte, postée le 24-07-2019 à 19:51:48 (S | E)
Bonjour,

Avant de me lancer à l'aveugle dans des calculs, j'ai envie d'utiliser une expression du type y = ... afin de me faire un avis à l'aide d'une calculatrice graphique. Si j'identifie une forme géométrique connue, je me sers ensuite de son écriture générale pour faire correspondre son équation à celle de l'énoncé ou vice-versa.

Je peux aider en cas de difficulté précisée, mon rôle n'étant pas à ce stade de faire l'exercice à la place de la personne qui demande.

J'ai aimé à la fin de l'exercice trouver une interprétation géométrique au décalage vertical entre le dessin de la droite d'équation y = x+0,5 et la représentation graphique de x²-y²+x = 0 dans le quart supérieur droit du plan.

Pour cela, j'ai imaginé un carré qui se transforme en rectangle avant de reprendre sa forme d'origine mais pas tout à fait comme avant.

Je considère un carré de côté égal à x+0,5. Je le transforme en rectangle en conservant son périmètre. J'enlève 0,5 à un côté et ajoute 0,5 au côté consécutif. J'obtiens un rectangle de largeur x et de longueur x+1. L'aire de ce rectangle vaut x(x+1). Je transforme alors ce rectangle en carré en conservant maintenant son aire. Le côté du carré final est égal à la racine carrée de x(x+1).

Deux remarques : x²-y²+x = 0 correspond à y = rac(x(x+1)) pour x et y positifs et à périmètre égal, l'aire d'un carré est toujours supérieure à celle de tout rectangle associé. Ainsi, je devine la position de la représentation graphique de x²-y²+x = 0 par rapport à celle de la droite d'équation y = x+0,5 dans la partie du plan choisie.

La différence entre x+0,5 et rac(x(x+1)) est aussi la différence entre le côté du carré initial et le côté du carré final.

Pour x et y strictement supérieurs à 0, les graphes de la droite y = x+0,5 et de x²-y²+x = 0 permettent de visualiser verticalement l'écart entre le côté du carré de départ et celui du carré d'arrivée.

C'était une petite histoire de géométrie cachée dans une autre géométrie, donnant une interprétation d'une portion de la représentation graphique de x²-y²+x = 0 avec une droite.




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