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Loi Bernoulli- Binomiale

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Loi Bernoulli- Binomiale
Message de math52 posté le 20-05-2020 à 17:35:49 (S | E | F)
Bonjour, dernier exercice de l'année, je crois que c'est le plus compliqué car je n'arrive pas à cerner la loi, j'ai trouver la question 1 et je suis bloqué à la 2ème.. Pourriez-vous m'éclaircir svp ?

L'énoncé est le suivant :

Confinés chez eux, deux amis se lancent un défi sportif chaque jour qu’ils réalisent en direct sur un site web bien connu. Ils ont décidé d’attribuer un point au vainqueur de chaque défi (un point chacun s’ils sont ex-æquo).

Le grand vainqueur sera le premier d’entre-eux qui aura 5 points d’avance sur l’autre. Un défi est dit décisif si la victoire finale se joue au cours de celui-ci.Les défis sont quotidiens et donc suffisamment espacés dans le temps pour que le résultat d’un défi n’influence pas celui du suivant.

De plus les deux amis sont membres du mˆeme club sportif et de niveaux identiques. Ainsi, chacun a 1 chance sur 3 de remporter chaque défi et ils se retrouvent ex-æquo dans un tiers des cas.

On admettra que P[X = 0] = 0^1 et on se placera sur l’ ́événement de probabilité 1 (presque sur) selon lequel au moins un d ́efi d ́ecisif aura lieu.

On note X le nombre de défis décisifs qui auront lieu.

1. Quel est le support deX ?

Supp X = N

2. Quel est la loi de X ?

Ici, je dirai que c'est une loi de Bernoulli puisque les X sont indépendants les uns des autres mais à quoi correspond le i ? l'échec (0) et le succès (1), succès signifie qu'il y a un défi décisif, et échec qu'il n'y en a pas c'est bien cela ? Mais je ne sais pas comment exprimer P[X=0] ou P[X=1] par exemple

3. Quelle est la probabilité pour qu’exactement 5 défis décisifs aient lieu ?

P[X=5], il faut d'abord trouver la loi.. pareil pour la suite

4. Quelle est la probabilité pour qu’au moins 3 défis décisifs ait lieu

P[X>=3] = 1 - P[X


Réponse : Loi Bernoulli- Binomiale de math52, postée le 21-05-2020 à 14:56:36 (S | E)
RECTIFICATION


Bonjour, dernier exercice de l'année, je crois que c'est le plus compliqué car je n'arrive pas à cerner la loi, j'ai trouver la question 1 et je suis bloqué à la 2ème.. Pourriez-vous m'éclaircir svp ?

L'énoncé est le suivant :

Confinés chez eux, deux amis se lancent un défi sportif chaque jour qu’ils réalisent en direct sur un site web bien connu. Ils ont décidé d’attribuer un point au vainqueur de chaque défi (un point chacun s’ils sont ex-æquo).

Le grand vainqueur sera le premier d’entre-eux qui aura 5 points d’avance sur l’autre. Un défi est dit décisif si la victoire finale se joue au cours de celui-ci.Les défis sont quotidiens et donc suffisamment espacés dans le temps pour que le résultat d’un défi n’influence pas celui du suivant.

De plus les deux amis sont membres du mˆeme club sportif et de niveaux identiques. Ainsi, chacun a 1 chance sur 3 de remporter chaque défi et ils se retrouvent ex-æquo dans un tiers des cas.

On admettra que P[X = 0] = 0^1 et on se placera sur l’ ́événement de probabilité 1 (presque sur) selon lequel au moins un d ́efi d ́ecisif aura lieu.

On note X le nombre de défis décisifs qui auront lieu.

1. Quel est le support deX ?

Supp X = N

2. Quel est la loi de X ?

Ici, je dirai que c'est une loi de Bernoulli puisque les X sont indépendants les uns des autres mais à quoi correspond le i ? l'échec (0) et le succès (1), succès signifie qu'il y a un défi décisif, et échec qu'il n'y en a pas c'est bien cela ? Mais je ne sais pas comment exprimer P[X=0] ou P[X=1] par exemple

3. Quelle est la probabilité pour qu’exactement 5 défis décisifs aient lieu ?

P[X=5], il faut d'abord trouver la loi.. pareil pour la suite

4. Quelle est la probabilité pour qu’au moins 3 défis décisifs ait lieu

P[X>=3] = 1 - P[X<3] = 1 - P[X=0] + P[X=1] + P[X=2]

5. À combien de défis décisifs peut-on espérer assister ?

Espérance..

6. Sachant que le défi du 20 avril était décisif, quelle est la probabilité pour qu’il y ait eu un défi décisif le 21avril ?

Aucune idée


Merci beaucoup bon "week-end"



Réponse : Loi Bernoulli- Binomiale de tiruxa, postée le 22-05-2020 à 11:18:38 (S | E)
Bonjour,

Ok après réflexion, parce que c'est compliqué si on rajoute pas l'hypoyhèse que "avoir un défi décisif" est de proba 1 , voilà ce que je pense (cela me parait le plus probable si j'ose dire...)

On se place donc non pas au début de l'expérience mais lorque l'on a un défi décisif (ce qui est certain d'après l'hypothèse précédente)

On aura un seul défi positif si lors de ce défi gagne celui qui a déjà 4 points, donc avec la proba 1/3, sinon le jeu continue (proba 2/3)

Ce qui veut dire que p(X=1)=1/3

Et on se retrouve comme au début du fait de l'indépendance ce qui veut dire que l'on va obligatoirement retrouver un défi décisif qui donnera un vainqueur avec la proba 1/3 comme précédemment...

D'où p(X=2)=(2/3)*(1/3)

Sinon (proba 2/3) la partie continue et donne inexorablement un nouveau défi décisif (toujours l'hypothèse) lequel delivre un gagnant avec la proba 1/3

D'où p(X=3)=(2/3)*(2/3)*(1/3)=(2/3)^2*(1/3)...

Voilà je pense que vous avez reconnu la loi... bonne continuation



Réponse : Loi Bernoulli- Binomiale de math52, postée le 22-05-2020 à 14:11:27 (S | E)
Bonjour !

Oui je pense que c’est la meilleure hypothèse, merci beaucoup pour votre aide!



Réponse : Loi Bernoulli- Binomiale de math52, postée le 23-05-2020 à 08:19:46 (S | E)
Re-Bonjour, voila je vous expose ma solution,

1. Support de X = N/0 car au moins un défi décisif
2. J'ai posé une variable Yi comptant le nb de points gagnés le ième tour, Yi suit une loi de Bernoulli (2/3), comme les Yi sont indépendant X= Y1+...+Yn, alors x suit une loi binomiale de paramètres (n;2/3). X représentant le nb de défis décisif ayant lieu.

3. P(X=5) = 5 parmi n * 2/3^5 * 1/3*n-5
Voila ce que serait P(X=5), mais je n'ai pas de n fixé, rien n'est indiqué en ce qui concerne le nombre de défis

4. P(X>=3), Pareil qu'au dessus il me faudrait n

5. E(X)= 2/3n

6. Je ne sais pas du tout c'est surement une probabilité conditionnelle

Pouvez-vous me dire si ce raisonnement est valide et si n peut être trouvé avec une quelconque loi ?

Merci d'avance



Réponse : Loi Bernoulli- Binomiale de tiruxa, postée le 23-05-2020 à 09:26:28 (S | E)
Bonjour

Désolé lais ce n'est pas cela vous n'avez pas tenu compte de mon message précédent.

Je reprends ce que je disais pour p(X=2)

En fait on a une proba égale à 1 d'avoir un défi décisif, puis une proba de 2/3 que ce défi ne soit pas réussi, ensuite proba égale à 1 de retrouver un défi positif et 2/3 à nouveau qu'il soit raté, enfin encore proba de 1 de retrouver un défi positif (le troisème donc) et 1/3 pour qu'il soit réussi ce qui termine le jeu.
D'où p(X=3)=1*(2/3)*1*(2/3)*1*(1/3)=(2/3)^2*(1/3)

Comme vous le voyez on ne connaît pas le nombre de parties, il peut être assez élevé

En fait, on a bien des épreuves de Bernoulli (les épreuves décisives seulement) où l'échec est de proba 2/3 et le succés de proba 1/3
Mais X n'est pas le nombre de succès comme dans la loi binomiale, ici c'est le nombre d'épreuves décisives pour avoir le premier succés.

Donc pour X=3 on a deux échecs suivi d'un succés.

Pour X=4 on a trois échecs suivi d'un succés donc (2/3)^3*(1/3) etc...

Vous devez connaître le nom de cette loi



Réponse : Loi Bernoulli- Binomiale de math52, postée le 23-05-2020 à 12:27:46 (S | E)
D'accord je comprends mieux mais je ne vois pas du tout qu'elle est cette loi ?



Réponse : Loi Bernoulli- Binomiale de math52, postée le 23-05-2020 à 15:20:46 (S | E)
Donc pour P(X=5) on a 2 succès et un échec ?
1/3^2 *2/3^3 ?

Je ne vois pas comment vous déduisez qu’il y a par exemple pour P[X =4] : 3 échecs et 1 succès ?


-------------------
Modifié par math52 le 23-05-2020 15:22





Réponse : Loi Bernoulli- Binomiale de tiruxa, postée le 23-05-2020 à 16:01:00 (S | E)
Non le succès c'est juste à la fin il n'y en a qu'un seul on s'arrête au premier succés.

Pour X=4 il y a eu 4 défis décisifs, les trois premiers ce sont conclus par des échecs (proba 2/3) et le dernier par un succés (proba 1/3).

Il s'agit d'une loi géométrique

Voir par exemple :
Lien internet





Réponse : Loi Bernoulli- Binomiale de math52, postée le 23-05-2020 à 16:15:51 (S | E)
D’accord votre raisonnement me semble juste, je suis confus car j’ai demandé à un professeur de mathématiques et celui-ci m’a répondu que c’est une loi binomiale de paramètre (2/3), votre raisonnement me semble correct, je vais donc opter pour le votre.

3. Pour P(X=5) je trouve environ 6%

4. Pour P(X>=3) = 1 - P(X<3) donc = 1 - (P(X=1) + P(X =2))
= 1 - ( [(1-1/3)^1-1 * 1/3] + [(1-1/3)^2-1 *1/3) ce qui donne environ 44% car P(X=0) donc on ne le compte pas, 44% me paraît relativement élevé non ?

5. Pour l’espereance : 1/p = 1/ 1/3 = 3, donc en moyenne on peut assister à 3 défis décisifs

6. Comme les défis sont indépendants du jour d’avant, la probabilité reste 1/3 non ?



Réponse : Loi Bernoulli- Binomiale de tiruxa, postée le 23-05-2020 à 16:42:57 (S | E)
Bonjour,

Cela pourrait etre une autre loi mais certainement pas une loi binômiale.

Mais bon si vous avez étudié cette loi (loi géométrique) il n'y a pas à hésiter c'est bien celle là.

Les calculs sont bons, 44% pour 3 et au dessus cela me semble normal puisque 3 est la moyenne, il y en a quand même 56% au dessous !

J'ai fait une simulation avec un tableur et cela dépasse souvent les 3 défis décisifs... j'ai même eu une fois 18 défis décisifs...

Pour la 6 par contre le résultat est correct mais il faut expliquer davantage, on dit que le 20 on a eu un défi décisif (disons que le joueur A dispose de 4 points d'avance) et on demande la proba d'en avoir un autre le lendemain...

Trois cas possibles de proba 1/3 chacun
Si A gagne le jeu s'arrête, victoire finale de A
Si B gagne , A n'a plus que 3 points d'avance...
Si c'est un match nul, A garde 4 points d'avance et on a un défi décisif le 21 avril

Bon travail



Réponse : Loi Bernoulli- Binomiale de math52, postée le 23-05-2020 à 17:56:11 (S | E)
je vous remercie pour toutes les réponses que vous avez pris le temps d’écrire, je comprends mieux maintenant !

Je vous souhaite une bonne et agréable journée !




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