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Relation d'équivalence

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Relation d'équivalence
Message de asmamoussaoui posté le 26-05-2022 à 01:42:38 (S | E | F)

Bonjour, quelqu'u peut m'aider à résoudre cet exercice ? Merci d'avance !

Soit E un ensemble et A une partie de E

On définit dans P(E) (l’ensemble des parties de E) la relation R par :

(x.y).(x.y) [P(E)]² xRy  Ax = A

a) Montrer que R est une relation d’équivalence.

b) Déterminer les classes d’équivalence suivantes :

cI (A) , eI () , cI (E)


-------------------
Modifié par asmamoussaoui le 26-05-2022 01:44




Réponse : Relation d'équivalence de hicham15, postée le 26-05-2022 à 14:38:14 (S | E)
Bonjour,

Tu peux nous présenter ce que tu as fait ? Tes suggestions de solution ?

Si tu es complétement bloqué, on peut t'aider..

Bonne journée.



Réponse : Relation d'équivalence de asmamoussaoui, postée le 26-05-2022 à 18:30:20 (S | E)

Voici mon essaie :

a) monter que R est une relation d'équivalence :

R est réflexive : 

(x.y)[P(E)]²  xRyAx = Ay

                              Ax = Ax

R est symétrique :

                             xRyAx = Ay

                                    Ay = Ax

R est transitive :

                         xRyRzAx = Ay

                              Ay = Az

Ax = Az

Donc R est une relation d'équivalence





Réponse : Relation d'équivalence de hicham15, postée le 26-05-2022 à 19:46:48 (S | E)
Bonjour,

Merci pour la proposition.

* R réflexive :

Soit x de p(E).

x inter A = x inter A ( en fait c'est vrm le même ensemble, la même écriture.. on a juste mis un signe d'égalité évident).

D'où xRx.

* R symétriques :

Soient x, y de p(E) tels que xRy

Donc x inter A = y inter A

(x et y jouent un rôle similaire)

Enfin, yRx

* R transitive :

Soient x, y, z de p(E)

Supposons que xRy et yRz.

Donx x inter A = y inter A et y inter A = z inter A.

D'où : x inter A = z inter A.

Finalement, xRz.


Merci de proposer une solution pour b).



Réponse : Relation d'équivalence de asmamoussaoui, postée le 27-05-2022 à 03:30:34 (S | E)
Bonjour ! merci beaucoup pour votre réponse et aide dans cet exercice !
concernant la partie b) je ne sais pas commet la continuer, j'ai fais un petit essaie dans la partie a) mais dans b) j'ai bloquée



Réponse : Relation d'équivalence de hicham15, postée le 27-05-2022 à 13:13:06 (S | E)

Bonjour,

 

b)
* Classe d'equivalence de A :

On sait que A inter A = A.
Donc cI(A) = {x de P(E); xRA} = {x de P(E); x inter A = A} = {x de P(E); A ⊆ x}

cI(A) est l'ensemble des ensembles contenant A.

 

* Classe d'equivalence de Ø :

On sait que Ø inter A = Ø

Donc cI(Ø) = {x de P(E); xRØ} = {x de P(E); x inter A = Ø} 

cI(Ø) est l'ensembles des différentes parties de E\A ( l'ensemble E moins l'ensemble A).

 

* Classe d'equivalence de E :

On sait que E inter A = A = A inter A

(Autrement : E est un ensemble qui contient A)

Donc E appartient à cI(A) 

D'où cI(A) = cI(E)

 

Bonne chance.






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