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[Maths] Un partage équitable.
Message de marie11 posté le 11-04-2007 à 19:41:20 (S | E | F | I)

Bonjour.

Voici un nouvel exercice de construction où l'on a recours encore une fois à la propriété de la médiane.

Connaissances requises : programmes de géomètrie 6° et 5°.





ABC est un triangle ne possédant aucune particularité.

Comment construire la droite (MN) de telle manière que le quadrilatère ABMN et le triangle MNC aient la même aire ?


Réponse: [Maths] Un partage équitable. de milou3, postée le 14-04-2007 à 11:52:39 (S | E)
Bonjour marie11,
juste une question :
Est-ce que MNA est pependiculaire?(malgré le codage manquant)
Milou3
P.S.:Je suis en 6e


Réponse: [Maths] Un partage équitable. de marie11, postée le 14-04-2007 à 13:02:27 (S | E)
Bonjour milou.

Ta question est d'autant plus pertinente que tu es en 6ème.
En général il ne faut pas se fier aux aspects d'une figure.

La droite (MN) n'est pas perpendiculaire à [AC].





Réponse: [Maths] Un partage équitable. de mercedesse, postée le 16-04-2007 à 11:49:15 (S | E)
Bonjour,
je propose une solution : tracer la droite (MN) parallèle à la droite (AB) de telle sorte que CN/CA = V2/2 (Racine carrée de 2 / 2).


Réponse: [Maths] Un partage équitable. de milou3, postée le 16-04-2007 à 13:03:11 (S | E)
Bonjour, marie11
Ou est ta figure?



Réponse: [Maths] Un partage équitable. de mokhoo, postée le 16-04-2007 à 13:49:39 (S | E)

salut matheux
il suffit de choisir M=A et N le milieu de BC comme ça MN sera une médiane du triangle et on aurra l'aire de MBN est celui de MNC


Réponse: [Maths] Un partage équitable. de marie11, postée le 27-04-2007 à 09:01:15 (S | E)
Bonjour.

ATTENTION !

La contruction apparaît dans le post suivant.

Quelles sont les connaissances requises pour résoudre ce problème de construction ?

1- Définition de la bissectrice d'un angle. Propriété des points de la bissectrice d'un angle (à savoir : tout point de la bissectrice d'un angle est équidistant des côtés de cet angle).

2- Définition d'une hauteur. Projection orthogonale d'un point sur une droite ou un segment.

3- Calcul de l'aire d'un triangle (à savoir :

4- Définition d'une médiane. Propriété de la médiane (à savoir : une médiane partage un triangle en deux triangles de même aire.)

{9965.gif}

ABC est un triangle scalène*.
On ne restreint pas la généralité en supposant AB < BC.

1- On constuit la bissectrice (d) de l'angle ABC.
2- (d) coupe [AC] en I.
3- On note H et K les projetés orthogonaux de I respectivement sur [AB] et [AC].
4- Puisque AB < BC on place sur [BC] le point J tel que AB = JC.

Conséquences :
1- Les triangles AIB et ICJ sont tels que :
IH = IK
AB = JC
Ces deux triangles ont la même aire.

2- On trace la médiane [IM] issue de I que l'on note (D).
Cette médiane partage le triangle BIJ en deux triangles de même aire.

3- Ainsi
Aire de AIB + aire de IMB = Aire de IMJ + aire de IJC.

La droite (D) partage bien le triangle ABC en un triangle et quadrilatère de même aire.

Aire de ABMI = Aire de IMC.

*scalène se dit d'un triangle dont les trois côtés sont inégaux.


La solution de mercedesse est recevable mais cela implique la connaissance du théorème de Pythagore : mesure de la diagonale d'un carré et du théorème de Thalès.
Si quelqu'un est intéressé par cette construction je la proposerai.

Je vous remercie de votre participation.


Réponse: [Maths] Un partage équitable. de marie11, postée le 27-04-2007 à 09:05:51 (S | E)
Bonjour .




Réponse: [Maths] Un partage équitable. de marie11, postée le 10-05-2007 à 08:46:00 (S | E)
Bonjour,

Voici une autre construction plus simple.




Le point M est tel que BC = 4*BM. Ainsi l'aire de ABM est le QUART de l'aire de ABC.
On en déduit que l'aire de AMC représente les TROIS-QUARTS de l'aire de ABC.

Le point N est tel que AC = 3*AN. Ainsi l'aire de AMN est le TIERS de AMC, c'est à dire le QUART de ABC.

Il s'ensuit que l'aire du quadrilatère ABMN est la moitié de l'aire de ABC.




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