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[Maths] sophisme arithmétique
Message de cyrano posté le 25-04-2007 à 14:44:19 (S | E | F | I)

Bonjour à tous,

Si trouver une solution à un problème est intéressant : il est tout aussi intéressant de "débusquer" une solution qui n'en est pas une.

Voici un petit exemple de sophisme arithmétique :

Je vais saisir ce qui suis sur mon clavier TRES LENTEMENT, afin que vous puissiez vous assurer que les opérations ci-dessous ne comportent pas d'entourloupes, et je vous prie de me croire sur parole : je n'ai rien dans les poches, rien dans les manches et ma souris n'a pas de double-fond.

Procédons.
Soit :

a = 1
b = 1

a = b --> Même les esprits les plus sceptiques en conviendront.
a*a = a*b --> On multiplie les deux membres par a.
a*a - b*b = a*b - b*b --> On soustrait "b×b" aux deux membres.
a*a + (a*b - a*b) - b*b = a*b - b*b --> On aditionne "a×b-a×b" (=0) à gauche.
a*a + a*b - a*b - b*b = b*( a-b ) --> On factorise par b à droite.
a*( a+b ) - b*( a+b ) = b*( a-b ) --> On factorise par a et b à gauche (attention aux signes!).
( a+b )*( a-b ) = b*( a-b ) --> On factorise par "a+b" à gauche.
( a+b )*( a-b ) = b*( a-b ) --> On simplifie.
a+b = b --> On commence à douter.
2 = 1 --> Après remplacement par les valeurs numériques, on ne doute même plus : on rit de soi!!


Il y a donc au moins une faille dans le raisonnement, mais saurez-vous la retrouvez ??


Bien entendu, je n'ai rien inventé, il s'agit que d'une "petite colle", mais qui pourra peut-être éviter des erreurs du même genre à nos glorieux matheux en herbe qui se présenteront prochainement au brevet des collèges ou au baccalauréat (ou simplement dans différents contrôles ou exercices).

Bon courage à ceux qui ne trouveront pas tout de suite la supercherie.
Pour ceux-là un seul conseil : Prenez toujours du recul sur ce que vous faites.

-------------------
Modifié par bridg le 25-04-2007 15:52
titre


Réponse: [Maths] sophisme arithmétique de tinchodoc, postée le 25-04-2007 à 16:35:52 (S | E)
Bonjour cyrano et merci pour cet exercice!!!
Juste une petite "question" :
Si a=b alors combien ça fait a-b???
Et, est-ce qu'un nombre peut-il être divisé par O??
Merci encore!



Réponse: [Maths] sophisme arithmétique de cyrano, postée le 25-04-2007 à 18:01:28 (S | E)

Et bien sûr que non, tu as vu juste. c'est tout simple, mais la difficulté consiste à ne pas l'oublier en développant les expressions.
Dans le contexte d'un exercice plus important on pourrait vite être "tenté" de foncer dans le piège.



Réponse: [Maths] sophisme arithmétique de darnad, postée le 11-05-2007 à 20:37:15 (S | E)
tu a considéré que l'avant dernière ligne implique la dernière alors que c'est faux : x*0=y*0 n'implique pas x=y

moi je vais te poser un problème c'est moi qui l'ai posé)

soit a,b :deux entiers naturels avec :b=a²+a-1
si a se termine par 2 ou 7 alors b est divisible par 5
comment expliquez vous ça(c'est moi qui ai posé le probleme et je suis le seul à en avoir la réponse)bonne chance

-------------------
Modifié par magstmarc le 11-05-2007 22:03


Réponse: [Maths] sophisme arithmétique de marie11, postée le 12-05-2007 à 00:02:14 (S | E)
Bonsoir darnad.

La réponse est évidente !!
Et puisque je connais la réponse, nous sommes déjà deux à la connaître.
Et il y en aura d'autres........
Mais attendons cyrano, il saura sans aucun doute résoudre ce problème, car il a du flair .


Réponse: [Maths] sophisme arithmétique de TravisKidd, postée le 12-05-2007 à 05:42:05 (S | E)
Il faut rappeller qu'en "simplifiant", ce que l'on fait en réalité est

- multiplier les deux équations par le reciproque du nombre à simplifier
- reconnaitre qu'un nombre multiplié par son reciproque est 1
- dire que multiplier un nombre par 1 donne le nombre lui-même.

Dans ce cas, (a-b), étant 0, n'a pas de réciproque, donc une simplification n'est pas possible (ou, au moins, aurait dû être fait d'une autre façon, ce qui n'existe evidemment pas puisque 2 n'est pas égal à 1. )

Au fait je n'ai même pas mentionné l'emploie des propriétés commutative et associative de la multiplication des nombres réels, ce qui jouent bien un rôle dans tout ça.

Je me bats dans mon ésprit sur cette question: est-il juste de "mentir" (ou plutôt dire une vérité incomplète) aux étudiants en leur disant simplement que "on peut simplifier ce qui est le même", ou faudrait-il leur en expliquer rigoureusement le pourquoi et le comment.

D'un côté, une explication trop détaillée risque de les faire embrouiller tandis qu'une explication simplifiée les fait savoir facilement quoi faire.

Mais de l'autre côté, une explication simplifiée risque de les decevoir lorsqu'ils essiaient d'appliquer la règle dans une situation, comme celle de cette "démonstration" que 2 = 1, où le petit détail manquant dans l'explication simple se fait importer.

Moi je ne pourrais jamais enseigner les maths aux petits gosses. "Maintenant mes petits, on va apprendre les nombres naturels -- non, Antoine, tu ne peux pas aller faire pipi, tu viens juste de le faire -- et comme je ne voudrais guère vous mentir et vous mettre sur un mauvais chemin, on va commencer avec les axiomes de Peano !!"


Réponse: [Maths] sophisme arithmétique de magstmarc, postée le 12-05-2007 à 09:04:36 (S | E)

Au fait on dit "l'inverse" d'un nombre
Je pense qu'il n'y a pas de soucis dans IR, si on précise bien que "simplifier" c'est "diviser chaque membre par..." et qu'on garde toujours à l'esprit qu'on ne peut pas diviser par zéro...ce qui est un réflexe facile à inculquer. De même avec les racines carrées ou les logarithmes, toujours vérifier que c'est positif, ça devient un automatisme.
Dans mes classes à partir de 13-14 ans j'aime bien avoir un "responsable du zéro" qui se manifeste à chaque fois qu'on fait une division "avec des lettres". Ca amuse tout le monde et j'espère qu'après on s'en souvient.


Réponse: [Maths] sophisme arithmétique de TravisKidd, postée le 12-05-2007 à 17:30:33 (S | E)
On peut dire "reciprocal" ou "(multiplicative) inverse" en anglais. J'ai à tort essayé une tradcution mot-à-mot du premier.

Il est bien possible d'automatiser l'application des règles, mais je crains qu'en les automatisant on n'oublie exactement ce que elles disent en effet. Cela risque une application inautorisé, par exemple, l'automatisation de la propriété distributive peut faire à un étudiant faire: (a+b)2 = a2 + b2. C'est pour ça que je préfère un modèle axiomatique, mais je me rends compte que les adolescents ne sont probablement pas intellectuellement prêts pour une telle chose.

Quant à ce problème-ci, il serait un exercise intéressant de le perturber. Et si b = 1,0000001 ? Maintenant on peut diviser par (a-b). Quoi d'autre se change dans la démonstration afin que tout reste correcte ?




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