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[Maths]Comparer 1 pi et p12 (Seconde) (1)

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[Maths]Comparer 1 pi et p12 (Seconde)
Message de luxor71 posté le 09-09-2007 à 13:10:15 (S | E | F | I)

Bonjour,

j'ai un devoir maison à rédiger pour le vendredi 14 septembre et une question me pose problème.

C'est celle-ci:

A l'aide d'arguments de bons sens mais sans utiliser la calculatrice, comparer 1 pi et p12= 6racine(2- racine3).
(On ne vous demande pas ici une démonstration de type mathématique, mais une argumentation basée sur l'intuition géométrique.)

Voilà, moi je ne comprends pas, comment on peut arriver à démontrer une comparaison sans utiliser la calculatrice...

de me venir en aide pour la solution.

Luxor71


-------------------
Modifié par webmaster le 27-01-2008 21:01


Réponse: [Maths]Comparer 1 pi et p12 (Seconde) de lennon, postée le 09-09-2007 à 19:34:24 (S | E)
je nai rien essayé mais "intiution géometrique" pour moi sa veu dire :
trace un cercle de rayon 1 , demi perimetre = pi
et avec un triangle rectangle tu de debrouille pour tracer un segment de 6racine ( 2 - racine(3 ) ).

bonne chance


Réponse: [Maths]Comparer 1 pi et p12 (Seconde) de luxor71, postée le 09-09-2007 à 20:12:02 (S | E)
Oui, je suis tout à fait d accord.


Mais pour tracer le segment "6 racine(2-racine3)" je dois avoir recours à la calculatrice !!!!


Merci pour votre concours




Réponse: [Maths]Comparer 1 pi et p12 (Seconde) de marie11, postée le 10-09-2007 à 10:01:06 (S | E)
Bonjour luxor.

Voilà ce que je vous propose de faire.

1- tracer un demi-cerle de rayon R = 1 et de centre O
2- Inscrire un demi-hexagone régulier ACEG (A et G sont diamétralement opposés)
3- B est le milieu de l'arc BC - D est le milieu de l'arc CE - et F est le milieu de l'arc EG. ( Il est facile de construire ces points puisque par exemple l'angle AOB = 30°)
4- On obtient donc une ligne polygonale inscrite dans le demi-cercle : ABCDEFG.
Il est bien entendu que la longueur de cette ligne polygonale est inférieure à la longueur du demi-cercle .
5- Comment calculer la longueur de cette ligne polygonale?
- On remarque d'abord qu'elle est régulière.
- D'autre part dans le triangle AOB on connaît certains éléments.
La formule d'Al Kashi permet de calculer AB :

AB² = OA² + OB² - 2*OB*OA cos AOB.
numériquement on obtient :
AB² = 1 + 1 - 2*cos 30°

soit :


Je vous laisse conclure ..........

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Modifié par magstmarc le 10-09-2007 17:54
Malheureusement la formule d'Al-Kashi n'est pas au programme de Seconde
Je pense qu'il s'agit de la dernière question du DM et que les questions précédentes orientent certainement vers ce type de construction



Réponse: [Maths]Comparer 1 pi et p12 (Seconde) de luxor71, postée le 10-09-2007 à 20:44:42 (S | E)
En effet, je n'ai point connaissance de cette formule.
Mais j'ai eu une idée: il suffit peut-être juste de démontrer que le périmètre du dodécagone est supérieur inférieur au périmètre du cercle.
Pourquoi le Périmètre du cercle? Et bien, je pense que "pi" a un lien avec
"2 X pi X rayon".

Malgré tout, j'ai beau tourné dans tous les sens la question, je ne vois que cela (qui peut-être ainsi de mon niveau). Je suis sûre que lorsque l'on va corriger le DM se sera peut-être très facile...(je mettrai la solution en ligne)

Mais je tiens tout de même à vous remercier pour votre aide et votre attention qui me sera peut-être utile dans mon futur,qui sait.

Bonne soirée

Luxor71

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Modifié par magstmarc le 11-09-2007 09:50
Plutôt inférieur que supérieur parce que "le plus court chemin d'un point à un autre (dans le plan) est la ligne droite"


Réponse: [Maths]Comparer 1 pi et p12 (Seconde) de marie11, postée le 10-09-2007 à 22:46:28 (S | E)
Bonjour.

Si la formule d'Al Kashi n'est pas au programme, je pense que les notions élémentaires de trigonomètrie le sont.

Désignons par I le point de concours des segments [AC] et [OB].
Alors les triangles rectangles AIB et ABG sont semblables l'angle BAI = 15° et BGA = 15°
Alors cos BAI = 1/(2*AB) et Sin AGB = AB/2

D'où 1/(4*AB²) + AB²/4 = 1
en posant AB² = h et en remarquant que h < 1(car AB < 1 donc AB² < 1)
on obtient:

h² - 4h + 1 = 0
J'ai indiqué une méthode de résolution sans avoir recours au discriminant.
les solutions sont :
h' =
h" =

il faut éliminer h' car h'> 2 donc h' > 1
seul h" convient car h" < 1

on a donc :
AB =




Réponse: [Maths]Comparer 1 pi et p12 (Seconde) de luxor71, postée le 23-09-2007 à 20:09:42 (S | E)
J' ai enfin la réponse au problème...

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La voici:
La plus courte distance d'un point à un autre est la ligne droite, une corde plus courte que l'arc de cercle qu'elle intercepte. On voit alors que si un polygone convexe est inscrit dans un cercle, son demi-périmètre sera plus court que la longueur du demi cercle.
La longueur d'un demi cercle de rayon 1 est π.p12 est le demi-périmètre du dodécagone inscrit, donc:

π>=p12 = 6racine(2-racine3)



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Merci à ceux qui m'ont aidé et peut-être que cela donnera un coup de main à quelqu'un...

Luxor71







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